解析幾何公式解析幾何答案

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解析幾何，外文名英語：Analytic geometry，又稱之爲座標幾何，或者是卡氏幾何，最早的時候叫做笛卡兒幾何，藉助於解析式進行圖形研究的幾何學分支。提出者是笛卡爾、費馬等，分類是平面解析幾何和立體解析幾何。

解析幾何通常使用二維的平面直角座標系研究直線、圓、圓錐曲線、擺線、星形線等各種一般平面曲線，使用三維的空間直角座標系來研究平面、球等各種一般空間曲面，同時研究它們的方程，並定義一些圖形的概念和參數。座標幾何包括平面解析幾何和立體解析幾何兩部分。平面解析幾何通過平面直角座標系，建立點與實數對之間的一一對應關係，以及曲線與方程之間的一一對應關係，運用代數方法研究幾何問題，或用幾何方法研究代數問題。

　　解析幾何

歷史

古希臘數學家梅內克繆斯(Menaechmus)的解題、證明方式與現在使用座標系十分相似，以至於有時會認爲他是解析幾何的鼻祖。阿波羅尼奧斯在《論切觸》中解題方式在現在被稱之爲單維解析幾何;他使用直線來求得一點與其它點之間的比例。阿波羅尼奧斯在《圓錐曲線論》中進一步發展了這種方式，這種方式與解析幾何十分相似，比起笛卡兒早了1800多年。他使用了參照線、直徑、切線與現進所使用座標系沒有本質區別，即從切點沿直徑所量的距離爲橫座標，而與切線平行、並與數軸和曲線向交的線段爲縱座標。他進一步發展了橫座標與縱座標之間的關係，即兩者等同於誇張的曲線。然而，阿波羅尼奧斯的工作接近於解析幾何，但它沒能完成它，因爲他沒有將負數納入系統當中。在此，方程是由曲線來確定的，而曲線不是由方程得出的。座標、變量、方程不過是一些給定幾何題的腳註罷了。

十一世紀波斯帝國數學家歐瑪爾·海亞姆發現了幾何與代數之間的密切聯繫，在求三次方程使用了代數和幾何，取得了巨大進步。但最關鍵的一步由笛卡兒完成。

從傳統意義上講，解析幾何是由勒內·笛卡兒創立的。笛卡兒的創舉被記錄在《幾何學》(LaGeometrie)當中，在1637年與他的《方法論》一道發表。這些努力是以法語寫成的，其中的哲學思想爲創立無窮小提供了基礎。最初，這些著作並沒有得到認可，部分原因是由於其中論述的間斷，方程的複雜所致。直到1649年，著作被翻譯爲拉丁語，並被馮·斯霍滕(vanSchooten)恭維後，才被大衆所認可接受。

費馬也爲解析幾何的發展做出了貢獻。他的《平面與立體軌跡引論》雖然沒有在生前發表，但手稿於1637年在巴黎出現，正好早於笛卡兒《方法論》一點。《引論》文字清晰，獲得好評，爲解析幾何提供了鋪墊。費馬與笛卡兒方法的不同在於出發點。費馬從代數公式開始，然後描述它的幾何曲線，而笛卡兒從幾何曲線開始，以方程的完結告終。結果，笛卡兒的方法可以處理更復雜的方程，並發展到使用高次多項式來解決問題。

發展

17世紀以來，由於航海、天文、力學、經濟、軍事、生產的發展，以及初等幾何和初等代數的迅速發展，促進了座標幾何的建立，並被廣泛應用於數學的各個分支。在座標幾何創立以前，幾何與代數是彼此獨立的兩個分支。座標幾何的建立第一次真正實現了幾何方法與代數方法的結合，使形與數統一起來，這是數學發展史上的一次重大突破。作爲變量數學發展的第一個決定性步驟，座標幾何的建立對於微積分的誕生有着不可估量的作用。

基本理論

卡氏平面座標系。四個點被標註了它們的座標：(2,3)爲綠色，(−3,1)爲紅色，(−1.5,−2.5)爲藍色，原點(0,0)爲紫色。

座標

在解析幾何當中，平面給出了座標系，即每個點都有對應的一對實數座標。最常見的是笛卡兒座標系，其中，每個點都有x-座標對應水平位置，和y-座標對應垂直位置。這些常寫爲有序對(x,y)。這種系統也可以被用在三維幾何當中，空間中的每個點都以多元組呈現(x,y,z)。

座標系也以其它形式出現。在平面中最常見的另類座標系是極座標系，其中每個點都以從原點出發的半徑r和角度θ表示。在三維空間中，最常見的另類座標系統是圓柱座標系和球座標系。

曲線方程

在解析幾何當中，任何方程都包含確定面的子集，即方程的解集。例如，方程y=x在平面上對應的是所有x-座標等於y-座標的解集。這些點彙集成爲一條直線，y=x被稱爲這道方程的直線。總而言之，線性方程中x和y定義線，一元二次方程定義圓錐曲線，更復雜的方程則闡述更復雜的形象。

通常，一個簡單的方程對應平面上的一條曲線。但這不一定如此：方程x=x對應整個平面，方程x+y=0只對應(0,0)一點。在三維空間中，一個方程通常對應一個曲面，而曲線常常代表兩個曲面的交集，或一條參數方程。方程x+y=r代表了是半徑爲r且圓心在(0,0)上的所有圓。